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Simetría espiral

Simetría, equilibrio y belleza

    Habitualmente, el término simetría se utiliza para designar una suerte de “buena proporción” entre las diversas partes que constituyen un todo. En este sentido, la simetría se asocia a algún tipo de equilibrio en la manera en que distintos elementos se integran para formar un objeto, y se le suele asociar con la belleza en las formas de la naturaleza y en el arte.

    Un ejemplo importante de simetría es la bilateral, que en términos generales se puede describir diciendo que si la mitad de la izquierda se refleja en un espejo entonces se obtiene la de la derecha. De esta forma, una forma que posee simetría bilateral permanece invariable cuando se realiza una reflexión en torno a su eje.


Simetría bilateral del cuerpo humano

    Este ejemplo sugiere que una forma de formalizar matemáticamente la noción de simetría consiste en estudiar las transformaciones que dejan invariable el objeto en observación.


La simetría o invariabilidad ante transformaciones.

    Aunque el estudio de la simetría se estaba haciendo implícitamente dentro de las matemáticas por mucho tiempo, su estudio sistemático es más bien reciente. El primer matemático en señalar que una forma de clasificar diferentes tipos de geometrías es mirar las transformaciones geométricas en cada una de ellas que preservan propiedades interesantes fue Felix Klein (1849-1925), y desde entonces una gran variedad de trabajos se han dedicado ha desarrollar esta idea.

    Una transformación es una regla para realizar movimientos de objetos. Estos movimientos pueden ser rígidos, es decir,  rotaciones, traslaciones y reflexiones, o también puede ser una dilatación, es decir, un cambio de escala dado por una expansión o una contracción uniforme en torno a algún punto fijo determinado que se denomina centro de la dilatación.

    Si la forma de un objeto permanece igual luego de aplicarle una transformación dada, entonces decimos que posee la simetría asociada a dicha transformación (de donde resulta que por cada transformación hay una simetría). Por ejemplo, si a un círculo se le aplica una rotación en un ángulo arbitrario en torno a su centro, se conserva la forma del círculo. Todo objeto con esta propiedad se dice que posee simetría circular.


Simetría circular: la forma permanece invariable luego de cualquier rotación


La espiral

    Se llama espiral a cualquier curva en el plano tal que la distancia r del origen a todo punto de ella satisface la ecuación

r=f(\theta),

donde f es una función monótona y \theta el ángulo de giro que se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj partiendo en el eje horizontal (abscisa).


La simetría espiral

    La definición general de espiral deja a un lado las simetrías que podrían encontrarse en la curva y da lugar a que la espiral no sea un elemento simétrico, sin embargo nosotros estamos interesados en espirales con simetría , poniendo especial atención en su propiedad simétrica, es decir, queremos estudiar la Simetría Espiral.

    Aunque parezca que estemos restringiéndonos un poco, la gracia de estos dos conceptos es que engloban un sin fin de fenómenos que ocurren en la naturaleza, desde el misterio de la vida, hasta la configuración de galaxias y si esto parece poco cotidiano, vasta con observar un jardín y advertir la prodigiosa cantidad de Simetrías Espirales que aparecen en las flores, cactus, etc, al punto que es más difícil encontrar una planta que no la tenga a una que la tenga, y si no tenemos una planta a nuestro alrededor, recuerden que ella también se encuentra cuando nos duchamos o lavamos las manos, en el entrar del agua al sifón, en  el vapor de nuestra taza de té el humo del cigarro, el frente de mal tiempo que determina nuestra vestimenta, etc.


Simetria Espiral




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