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La espiral Uniforme o de Arquímedes.

Recordemos la definición de espiral que dió Arquímedes en el año 225a.C. :

"Si una línea recta que permanece fija en un extremo, se la hace girar en el plano con velocidad constante y, al mismo tiempo, se mueve un punto sobre la recta con velocidad constante comensando por el extremo fijo, el punto describe en el plano una espiral"



    Un ejemplo de esta espiral lo encontramos al enrollar una cuerda sobre si misma o también en la espiritrompa de una mariposa (la estira para introducirla en las flores y alimentarse). Como es muy sencilla de construir aparece también mucho en la cerámica popular.

    Arquímedes de Siracusa (287-212a.C.), físico y matemático griego, quien fascinado por su belleza realizó un estudio profundo sobre las propiedades de esta curva, en un escrito titulado "De las espirales" por lo que desde entonces se la conoce como espiral de Arquimedes.

    La característica de la espiral de Arquímedes es que entre dos espiras, la distancia es la misma, la expansión y la rotación tienen lugar a la misma velocidad, el vínculo entre ellas es lineal.


Su ecuación expresada en coordenadas polares es :


    Una propiedad interesante que observó Arquímedes el la siguiente:

"El área de la espiral en su primera vuelta es igual a la tercera parte del área del círculo que la envuelve"



    Arquímedes con sus métodos se adelantó en varios milenios a sus contemporáneos. Sin embargo la dificultad de construirla de manera exacta, junto al hecho de no poder construirse con regla y compás hizo que los sabios griegos no le dedicasen toda la atención que se merecen. Aunque como en todo existen excepciones, y en este caso fue su amigo Conón de Samos.

    De Arquímedes se conocen dos libros sobre la geometría plana, uno dedicado a la circunferencia, "De la medida del círculo", donde el número pi da el salto a la fama junto con una de sus aproximaciones más usadas hasta nuestro días; y otro dedicado a la espiral uniforme, "De las espirales", libro complicado y de lectura difícil, donde Arquímedes hace un profundo y exhaustivo estudio de la espiral uniforme. En éste libro demuestra las propiedades de las áreas de las diferentes espiras, como la enunciada anteriormente, utiliza la espiral para calcular la longitud de un arco de circunferencia, para cuadrar el círculo (es decir, construír un cuadrado con la misma area de un círculo dado) y para trisectar un ángulo (es decir,dividirlo en tres partes iguales).

Aunque ésta curva le permitió atacar dos de los tres problemas clásicos: la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo; por desgracia para Arquímedes, los griegos exigían la resolución utilizando sólo regla y compás, y su curva, la espiral uniforme, no se puede construir sólo con esos instrumentos.



    El hecho de que ésta sea la espiral más sencilla de construir hace que aparezca como motivo ornamental desde las épocas más remotas. La encontramos ya en túmulos mortuorios de la edad del bronce y en vasijas griegas y etruscas, también la encontramos, en la cerámica popular, como motivo decorativo de muchos platos. Esto no es tan extraño si pensamos en la extrema facilidad con la que se puede dibujar sobre el torno del alfarero. Basta con ir desplazando el pincel en una dirección determinada, desde el centro hacia el borde, con una velocidad constante.



    ¡¡ Eureka !!, ¡¡ Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo !! y su famoso principio sobre los cuerpos sumergidos en un líquido "Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado", son frases de Arquímedes y decididamente sus frases han pasado a la historia.

muerte de Arquímedes

    La historia de su muerte a manos de un soldado romano en la toma de su ciudad natal, Siracusa, por la flota de Marcelo y la frase que calmadamente le dirigió justo antes de ser atravesado por su espada mientras dibujaba en la arena. ¿Quizás una de sus espirales?, "no molestes a mis círculos" hacen de Arquímedes uno de los sabios más populares de la historia.

La forma en que Arquimedes logró dividir un ángulo en tres partes iguales utilizando la espiral uniforme, regla y compás es la siguiente:

Trisección del ángulo

    Basta hacer coincidir el vértice del ángulo con el origen de la espiral, dividir el segmento que va desde el origen al punto de corte de la espiral con el segundo lado del ángulo en tres partes iguales y trazar por esos puntos ( y ) arcos de circunferencia hasta que corten a la espiral (en y respectivamente).

    Por último, si unimos el origen con esos puntos de corte ( y ) tendremos los tres ángulos que dividen al original en tres partes iguales.

    Hoy, sabemos que este problema no se puede resolver utilizando solamente regla y compás, lo que nos dá la prueba de que la espiral uniforme tampóco se puede dibujar utilizando solamente regla y compás. Por otro lado es una desgracia para las matemáticas que la espiral uniforme no se puede dibujar con regla y compás, puesto que si se pudiera también podríamos dividir un ángulo en tres partes iguales utilizando  sólo regla y compás.

    Menos conocidos, pero más sorprendentes para los matemáticos, son sus resultados sobre la espiral uniforme, recogidos en su libro "De las espirales", en el que entre sus 28 proposiciones varias se refieren a las áreas de las espirales.

    Resultados tan complejos como estos:

"El área barrida por el radio en la segunda vuelta es 6 veces el área de la primera vuelta".

"El área barrida en la segunda revolución está en razón 7/12 con el círculo cuyo radio es la posición final del radio vector"
    Arquímedes va mucho más allá y demuestra que las áreas de los sucesivos anillos vienen dadas por la siguiente fórmula:



donde es el área barrida en la -ésima vuelta.

    Nos reconforta pensar que cada vez que un barco cruza los mares rinde un homenaje a Arquímedes el físico por su principio, que cada vez que utilizamos una barra rígida para levantar un gran peso le damos las gracias por sus leyes de la palanca, cada vez que un niño hace un rollo de plastelina y lo envuelve sobre sí mismo está realizando un sencillo pero a la vez hermoso homenaje a nuestro querido Arquíloco el matemático.

Más propiedades

    Como sabemos la espiral de Arquímedes es una espiral Arquimedeana con ecuación polar


    La curvatura de la espiral de Arquímedes es:


y su longitud de arco es



esta expresión tiene la expansión de Taylor:


donde es un polinomio de Legendre.
    La espiral de Arquimedes puede ser usada para la divisón de un ángulo en partes (donde se incluye la trisección angular) y puede también ser usada en la cuadratura del círculo. Además la curva puede ser usada para convertir movimiento circular uniforme en movimiento rectilíneo uniforme (Steinhaus 1999, p. 137; Brown).




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