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Incorporando la curva generadora al modelo.

La curva generatriz se especifica en un sistema de coordenadas locales . Dado un punto de la hélico-espiral , primero se pondera por el factor con respecto al origen de este sistema, luego se rota y traslada hasta que el origen de la curva coincida con como se muestra en la figura:



A continuación los ejes son usados para orientar la curva generadora en el espacio

La solución simple

La solución más simple es rotar el sistema hasta que el eje sea paralelo al eje y el eje sea perpendicular al eje .

En este caso, si la curva generadora yace en el plano , la abertura de la concha y las marcas de crecimiento (tales como el relieve en la superficie de la caracola) serán paralelas al eje de la concha. Sin embargo, muchas conchas exhiben aproximadamente marcas de crecimiento ortoclinales las que yacen en planos normales a la hélico-espiral . La diferencia entre este modelo y una verdadera caracola se puede apreciar en la siguiente figura:




Una solución más sofisticada

Una mejor solución, que captura este efecto, se obtiene orientado el eje a lo largo del vector , tangente a la hélico-espiral en el punto . La curva se fija en el espacio alineando el eje con el vector normal principal de . Los vectores unitarios  y se pueden obtener con las siguientes fórmulas:

         

Donde y denotan a la primera y segunda derivada del vector posición , tomada con respecto a . Los vectores , y definen un sistema local de coordenadas ortonormales llamado triedro de Frenet. Éste, es considerado un buen sistema de referencia para orientaciones más sofisticadas, ya que no depende de la parametrización de la hélico-espiral o del sistema de coordenadas en la que es expresado. El triedro de Frenet no está definido en los puntos sin curvatura, sin embargo, una hélico-espiral siempre tiene curvatura no nula ( nunca se anula). El impacto en la orientación de la curva generadora se puede apreciar en la siguiente figura:



donde se verifica que la abertura, así como el relieve, de la caracola real (ubicada a la izquierda), se ajusta mucho mejor al modelo que usa el triedro de Frenet (ubicado en el centro) en la orientación de la curva generadora, también se puede apreciar que el modelo más simple está lejos de ser el más adecuado.

En general la curva no se encuentra alineada ni con el eje de la caracola ni con el triedro de Frenet. Es más, en el caso de curvas que no sean planas es difícil definir lo que es estar alineado. También, resulta conveniente poder ajustar la orientación de la curva generadora con respecto a las coordenadas del sistema de referncia. Con este objetivo, nosotros permitimos la rotacion  del sistema con respecto a cada eje y .




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