Temas:
     Matemáticas.
     Naturaleza.
     Arte.

   Mapa del sitio.

   Mail.






Estadisticas y contadores web gratis
.fr.de.pt.jp




siguiente previous contenido   Construcción de caracolas.

Construcción de la malla poligonal.

En el sentido matemático, la superficie de la caracola se define completamente con la curva generadora , barriendola a lo largo de la hélico-espiral Sin embargo, nosotros representaremos esta superficie como una malla poligonal con el propósito de renderizarla. La malla se construye especificando puntos en la curva generadora (incluyendo los puntos finales), y luego conectandolos con sus correspondientes puntos de la siguiente curva generadoora. La secuencia de poligonos que se encuentran en un par de curvas generadoras adyacentes se llama rim.

Al igual que en el proceso de orientación de la curva generadora, la obtención del rim cuenta con al menos dos formas posibles de llevarse a cabo

La solución simple

Sea una parametrización de la curva generadora en las coordenadas , con .

La forma más sencilla, es particionar uniformemente en intervalos de largo , y luego obtener los puntos en la curva generadora como los valores de en los extremos de estos intervalos.

El problema con ésta solución es, que la distancia geodesica de los puntos en la curva generadora dependerá de la velocidad con que es hecha la parametrización de la curva, lo que trae problemas al tratar de modelar fenómenos como el relieve o la textura de la superficie de la caracola.

Una solución más sofisticada

Sea nuevamente una parametrización de la curva generadora en las coordenadas , con .

Una forma más sofisticada, es particionar, esta vez la curva uniformemente en intervalos de largo , donde denota al largo de la curva . Ésta es una mejor solución al tratar de modelar fenómenos como el relieve o la textura de la superficie. La diferencia entre ésta forma y la anterior solución se puede apreciar en la siguiente figura:



El método, es muy sencillo; dado que el largo de un arco infinitesimal en se relaciona con el cambio infinitesimal del parametro por medio de las siguientes ecuaciones:



.

El largo total de se puede obtener integrando sobre el intervalo :

.

Invirtiendo la primera ecuación, obtenemos que:

.

Que junto con la condición inicial , forma una ecuación diferencial de primer orden que determina al parametro como función del largo del arco . Luego, integrando esta última ecuación  en intervalos consecutivos de largo , obtenemos una secuencia de valores de parametros:

,

con los cuales se obtiene la secuencia de puntos en la curva generadora que poseen la propiedad buscada.




siguiente previous contenido

Universidad de Chile

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Centro de Modelamiento Matematico

Departamento de Ingeniería Matemática