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Construcción de la caracola del Nautilus.

La siguiente presentación está basada en la página de V.L.Hansen.

Recordemos algunos conceptos acerca de la espiral logaritmica.

Un espiral logaritmico se caracteriza totalmente por ser una curva plana donde el vector tangente en cada punto de la curva tiene un ángulo constante con respecto a la dirección radial, que parte de un punto fijo (origen de la espiral) hacia el el punto . Por esta razón al espiral logarítmico se le suele llamar espiral equiangular. Se puede apreciar esto en la siguiente figura:



En cada punto de una curva plana, en particular en cada punto de la espiral logarítmica, existe un circulo que está definido como el mejor circulo que aproxima a la curva: éste es el famoso circulo de curvatura, con centro en llamado el centro de curvatura. Su construcción se puede apreciar en la siguiente figura:



Los centros de la curvatura forman una nueva curva, la cual se llama la evoluta de la curva; la curva verde en la siguiente figura. Para el espiral logarítmico, sorprendentemente, la evoluta es otra vez un espiral logarítmico. Ésta puede ser construida rotando el espiral logarítmico en y multiplicando su radio por .

Simétrica a la evoluta con respecto a la espiral logarítmica, existe otra espiral logaritmica, la cual se llama evoluta exterior. La evoluta exterior se representa en la siguente figura (curva celeste) junto con algunas tangentes a la evoluta que se conectan con puntos correspondientes a la evoluta exterior.



Existe un ángulo , aproximadamente el , para el cual la evoluta y la evoluta exterior del espiral logarítmico calzan, como se muestra en la siguiente figura. En adelante, usaremos sólamente éste ángulo para la espiral logarítmica.



Si los círculos de curvatura de la espiral logarítmica se trasladan a la curva en dirección radial , de tal forma que sus centros se encuentren ahora en la misma curva, y luego se rota, de tal forma que sean othogonales a la curva y al plano donde vive de la curva (ver animación), entonces una caracola de Nautilus aparece. Esto se puede observar en las figuras siguientes:





El está muy cerca de mitad del ángulo de oro (aproximadamente de ), que se presenta al dividir el perimetro de un circulo en la proporción áurea. Para el espiral logarítmico, dentro de la caracola del Nautilus, es entonces aproximadamente cierto que la línea que atraviesa el origen y el punto de la curva , divide al círculo de curvatura en el cociente de oro, como se muestra en la siguiente figura:



Otra cosa que hay que tener en cuenta es que el ángulo levemente más pequeño que dado por la mitad del ángulo de oro dejará un boquete entre la evoluta y la evoluta exterior. Tal boquete permitirá el grueso de la cáscara de Nautilus lo que apoya la conjetura de que el cociente de oro está conectado con este fenómeno de crecimiento en naturaleza.

La mitad inferior y la mitad superior de la cáscara de Nautilus se muestran en las siguientes figuras:






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