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2 Teoría de Grupos


2.1 Definiciones Básicas

Definición 5 (Grupo)   Sea $ (A, \ast)$ una estructura algebraica con una ley de composición interna. Decimos que $ (A, \ast)$ es un grupo si:
  1. $ \ast$ es asociativa.
  2. $ \ast$ tiene neutro $ 1 \in G$.
  3. toda $ g \in G$ tiene inverso $ g^{-1} \in G$ para $ \ast$.
Con esta definición de grupo, es directo que el neutro es único, al igual que el inverso $ g^{-1}$ de $ g \in G$.

También se tienen las siguientes propiedades:

  1. $ (g^{-1})^{-1}=g$.
  2. $ (g\ast h)^{-1}= h^{-1}\ast g^{-1}$.
Un grupo $ (G,\ast)$, donde $ \ast$ es conmutativo, se denomina Abeliano.

Ejemplos: Los siguientes son algunos ejemplos de grupos

$ \bullet$
$ (\mathbbm{Z}, +)$ es un grupo abeliano.
$ \bullet$
$ (\mathbbm{Z}_{p},+)$ es un grupo abeliano.
$ \bullet$
Sea $ A=\{ \pi

: \{ 1,2,3 \} \to \{ 1,2,3 \} \mid \pi$    es función biyectiva $ \}$ y se considera la operación $ \ast:$ ``composición de funciones". Este conjunto tiene 6 elementos que se pueden nombrar $ \pi_{0}, \pi_{1}, \pi_{2}, \pi_{3}, \pi_{4}, \pi_{5}$. Luego la operación se puede ver en la tabla
\begin{displaymath}

\begin{array}{c\vert cccccc}

\ast & \pi_{0} & \pi_{1} & \p...

... \pi_{4} & \pi_{3} & \pi_{2} & \pi_{1} & \pi_{0}

\end{array}

\end{displaymath}
Con esta operación $ (A, \ast)$ es un grupo, pero no es abeliano.

Definición 6 (Morfismo de grupos)   Una función $ f:G \to H$, entre dos grupos $ (G,\ast),(H,\diamond)$ se dice morfismo (u homomorfismo) ssi:
$\displaystyle \forall x,y \in G\qquad f(x\ast y) = f(x) \diamond f(y).$
Un morfismo inyectivo suele llamarse monomorfismo, uno sobreyectivo se llama epimorfismo, y finalmente un morfismo biyectivo se llama isomorfismo.
$\displaystyle (G,\cdot) \cong (H,\ast) \Leftrightarrow G$    isomorfo a $\displaystyle H$

Endomorfismo es un morfismo de un grupo en si mismo; un automorfismo es un isomorfismo endomorfo.

Propiedades

Si $ f:G \to H$ es un morfismo de grupos, entonces

  1. $ f(1)=1$.
  2. Si $ g \in G$, $ f(g^{-1})=f(g)^{-1}$.
Si $ f:G \to H$ es un morfismo de grupos llamaremos Núcleo de $ f$ a $ Ker(f)=f^{-1}(1)$.

Con esto, $ f$ es monomorfismo $ \Leftrightarrow Ker(f)=\{1\}$.

Ejemplos:

$ \bullet$
La función logaritmo (en cualquier base), $ log :

(\mathbbm{R}_{+},\cdot) \to (\mathbbm{R},+)$ tiene la conocida propiedad $ log(a

\cdot b) = log(a) + log(b)$, y como es biyectiva, es un isomorfismo entre $ (\mathbbm{R}_{+},\cdot)$    y $ (\mathbbm{R}, +)$. Así $ (\mathbbm{R}_{+},\cdot)$    y $ (\mathbbm{R}, +)$ son estructuras isomorfas.
$ \bullet$
Si $ \alpha \in \mathbbm{R}$ es un real fijo, la función $ f:(\mathbbm{R},+) \to (R,+)$ tal que $ f(x)=\alpha \cdot x$ es un homomorfismo, dado que $ f(x_{1}+x_{2}) = \alpha \cdot

(x_{1}+x_{2}) = \alpha \cdot x_{1} + \alpha \cdot x_{2} = f(x_{1})

+ f(x_{2})$. Si además $ \alpha \neq 0$, entonces $ f$ es un automorfismo.

Definición 7 (Subgrupo)   Si $ (G,\ast)$ es un grupo, y $ H \subseteq G$, diremos que $ H$ es un subgrupo de $ G$ si $ (H,\ast)$ es también un grupo.
Si $ H$ es un subgrupo de $ (G,\ast)$, el neutro de $ (H,\ast)$ es el mismo que el de $ (G,\ast)$, y para cada $ g \in H$, si $ g^{-1} \in G$es su inverso en $ (G,\ast)$, también $ g^{-1}$ es el inverso de $ g$ en $ (H,\ast)$ (y por lo tanto $ g^{-1} \in H$).

Una caracterización de los subgrupos es la siguiente:

$ H \subseteq G$ es subgrupo ssi:

  1. $ H \neq \emptyset$.
  2. $ (\forall x,y \in H) \qquad x \ast y^{-1} \in H$.

Definición 8   Si $ (G,\ast)$ es grupo, una relación de equivalencia $ \sim $ en G se dice compatible con $ \ast$ ssi:
$\displaystyle (\forall x,x',y,y' \in G) \qquad x \sim x' \wedge y \sim y' \Rightarrow x \ast y \sim x' \ast y'.$

Dada una relación de equivalencia $ \sim $ compatible con $ \ast$, podemos definir una l.c.i. en el conjunto cociente $ G/\sim$.

$\displaystyle [x] \ast [y] = [x \ast y].$
La compatibilidad hace que la operación $ \ast$ en $ G/\sim$ esté bien definida. Es directo que en este caso $ (G/\sim, \ast)$resulta ser un grupo, y la sobreyección canónica
$ \nu : $ $ G$ $ \to$ $ G/\sim$
  $ x $ $ \to$ $ \nu (x) = [x].$
es un epimorfismo. (Por este motivo $ \nu$ también recibe el nombre de epimorfismo canónico).

Ahora, si $ \sim $ es compatible con $ \ast$, entonces

$\displaystyle x \sim y$ $\displaystyle \Leftrightarrow 1 = x^{-1} \ast x \sim x^{-1} \ast y$   (compatibilidad y $ \sim $ refleja)$\displaystyle .$    
  $\displaystyle \Leftrightarrow x^{-1} \ast y \in [1].$    

Llamemos $ H = [1] $ (subgrupo). Con esto se tiene la siguiente propiedad:

Si $ h \in H $ y $ x \in G$ es un elemento cualquiera de $ G$, entonces $ x \ast h \ast x^{-1} \in H$. En efecto:

$\displaystyle h \in H$ $\displaystyle \Leftrightarrow h \sim 1.$    
  $\displaystyle \Rightarrow x \ast h \sim x \ast 1 = x$   (compatibilidad de $ \sim $ con $ \ast$).    
  $\displaystyle \Rightarrow (x \ast h) \ast x^{-1} \sim x \ast x^{-1} = 1$   (compatibilidad de $ \sim $ con $ \ast$).    
  $\displaystyle \Rightarrow x \ast h \ast x^{-1} \in H =[1]$   (asociatividad para eliminar paréntesis).    

O sea, $ (\forall x \in G) \ x \ast H \ast x^{-1} = \{ x \ast h \ast x^{-1} \mid h \in H \} \subseteq H$.
Definición 9 (Subgrupo normal)   Un subgrupo H de G tal que satisface
$\displaystyle (\forall x \in G) \quad x \ast H \ast x^{-1} \subseteq H. $
se llama subgrupo normal de G.
Se usará la siguiente notación para designar a los subgrupos normales de $ G$
$\displaystyle H \lhd G \Leftrightarrow$    $H$ subgrupo normal de $G$$\displaystyle .$
Esto caracteriza completamente a las relaciones compatibles con $ \ast$. En efecto, si partimos de un subgrupo normal $ H \lhd G $ dado, definimos la relación $ \sim_{H} $ en $ G$ tal que
$\displaystyle x \sim_{H} y \Leftrightarrow x^{-1} \ast y \in H$
Entonces
  1. $ \sim_{H} $ es de equivalencia en G.
  2. $ \sim_{H} $ es compatible con $ \ast$.
  3. $ [1] = H$.
Notación: Si G es un grupo, y $ H \lhd G $, el cociente $ G/\sim_{H}$ se anota como $ G/H$. Ejemplos:
$ \bullet$
Cualquier subgrupo de un grupo Abeliano $ (A, \ast)$ es un subgrupo normal, gracias a la conmutatividad de la operación $ \ast$. En efecto, sea $ H$ subgrupo de $ A$. Entonces
$\displaystyle x \ast H \ast x^{-1}= \{ x \ast h \ast x^{-1} \mid h \in H \}

\s...

...rel{ \text{$\ast$ conmuta}}{=} \{ (x \ast x^{-1}) \ast h \mid

h \in H \} = H.$
$ \bullet$
El núcleo de todo morfismo de grupos $ f:G \to H$ es un subgrupo normal de G; es más, todos los subgrupos normales de G son núcleos de algún morfismo. En efecto
  • Si $ a \in G$ y $ x \in Ker(f)$ Por lo tanto $ a \ast x \ast a^{-1} \in Ker(f) \Rightarrow Ker(f)$ subgrupo normal.
  • Si $ K \lhd G$, tomemos $ H=G/K$ y $ f=\nu_{K} : G \to G/K$ morfismo. Luego
    $\displaystyle \nu_{K}(x) = 1 \in G/K \Leftrightarrow [x] = [1] = K \Leftrightarrow x \in K.$
    Luego $ Ker(\nu_{K}) = K$.

Definición 10 (Subgrupo generado por un subconjunto)   Sea $ G$ un grupo, y $ A \subseteq G$ un subconjunto cualquiera. Denotemos
$\displaystyle <A> = \bigcap_{A \subseteq H \atop \text{H subgrupo}} H .$
el subgrupo generado por A.
Se tiene $ A \subseteq <A>$. Mas aun, $ <A>$ es más pequeño (en el sentido de la inclusión) de los subgrupos de $ G$ que contiene a $ A$. Evidentemente, si $ A$ es subgrupo de $ G$ entonces $ <A> = A$.

Es también claro que

$\displaystyle A \subseteq \underbrace{\{ {a_{1}}^{n_{1}}

\cdots {a_{k}}^{n_{k}...

... n_{1}, \cdots ,n_{k} \in \mathbbm{Z}\}}_{\text{ es subgrupo}}

\subseteq <A>. $
Por lo tanto:
$\displaystyle <A> = \{ {a_{1}}^{n_{1}} \cdots

{a_{k}}^{n_{k}} \mid k \geq 0, \ a_{1}, \cdots , a_{k} \in A \ ; \

n_{1}, \cdots ,n_{k} \in \mathbbm{Z}\}.$

Caso interesante

Si $ A = \{ a \} $ entonces $ <A> = \{ a^n \mid n \in \mathbbm{Z}\} $ y se denomina subgrupo cíclico generado por a.

Un grupo $ G$ se dice cíclico si

$\displaystyle \exists a \in G \ $    tal que $\displaystyle \ <\{a\}> = G.$
Así $ G = \{ a^n \mid n \in \mathbbm{Z}\}

$. Veremos que los grupos cíclicos son "pocos", y para eso nos ayudaremos del siguiente resultado.
Teorema 1 (Teorema del factor)   Si $ G,H$ grupos, $ f:G \to H$ morfismo, y $ K \lhd G$ tal que $ K \subseteq Ker(f) $. Entonces:

$\displaystyle \exists ! \ $    morfismo $\displaystyle \ \widetilde{f} : G/K \to H .$
tal que el diagrama siguiente es conmutativo
$\displaystyle \xymatrix{G \ar[rr]^f \ar[dr]^{\nu} & & H \\

& G/H \ar[ur]^{\widetilde{f}} & }

$
Con $ \nu$ el epimorfismo canónico (introducido anteriormente). Es claro que $ f = \widetilde{f} \circ \nu$. Se dice que f se factoriza a través de G/K. Además
f es un epimorfismo $ \Leftrightarrow $ $ \widetilde{f} $ es un epimorfismo.
$ \widetilde{f} $ es monomorfismo $ \Leftrightarrow $ $ K = Ker(f)$.
Usando este resultado se puede demostrar la siguiente proposición
Proposición 2   Si G es un grupo cíclico, entonces:
$ \bullet$
Si G es infinito $ \Rightarrow \ G \cong (\mathbbm{Z}, +) $.
$ \bullet$
Si G es finito $ \Rightarrow \ G \cong (\mathbbm{Z}_{p}, +) $.
Donde $ p \geq 1$ ( notemos que $ p = \vert G\vert$ ).




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