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4 Simetría

Para poder analizar la simetría usando la teoría de grupos, se debe dar una definición de la misma ambientada en el campo de la teoría de grupos.

Definición 12 (Simetría)   Sea $ A \subseteq X$, con $ X$ un $ G$-espacio. Si
$\displaystyle (\exists g \in G, \ g \neq 1) \quad g \cdot A = \{ g \cdot x \mid x \in A \} = A.$
$ A$ se denotara simétrico con respecto a la acción de $ g \in G$. En este caso se dirá que $ g$ es núcleo de simetrías de $ A$ y se denotara por $ g \rhd A$

Supongamos ahora que $ \mu$ es una acción de $ G$ en $ X$ tal que $ (\exists g \in G) \quad g \cdot A = A$ para $ A \subseteq X$. ¿Que pasa con el conjunto $ g \cdot ( g \cdot A)$?

Pues en este caso resulta ser también igual a $ A$.

En efecto:

$\displaystyle g \cdot (g \cdot A) = \{ g \cdot y \mid y \in g

\cdot A \} \stackrel{g \cdot A = A}{=} \{g \cdot x \mid x \in A \}

= A .$
Notando también que $ g \cdot (g \cdot A) = g^2 \cdot A $, se tiene, aplicando inducción, que
$\displaystyle (\forall \tilde{g} \in

H=<\{g\}>) \quad \tilde{g} \cdot A = A. $

Definición 13   $ A \subseteq X, \ X$    $G$-espacio$ $ se dirá simétrico con respecto al grupo $ G$ ssi:
$\displaystyle (\forall g \in G) \qquad g \cdot A = A. $
Con esto, se tiene que si $ \exists g \in G$ tal que $ g \cdot A = A

$, $ A$ es simétrico con respecto al grupo $ H = <\{g\}>$. Ahora si definimos
$\displaystyle Sim(G,A) = < \bigcup_{g \rhd A} {g}> \subseteq G

$
se tiene que $ A$ es simétrico respecto al subgrupo $ Sim(G,A)

\subseteq G$ y se tiene que este es el subgrupo maximal tal que $ A$ sea simétrico con respecto a algún subgrupo de $ G$.

En efecto, supongamos que $ \exists \tilde{g} \notin Sim(G,A) \ $ tal que $ \tilde{g}

\cdot A = A$.

Luego

$\displaystyle \tilde{g} \rhd A \quad \Rightarrow \quad <\{\tilde{g}\}> \subseteq Sim(G,A) \quad \Rightarrow \quad \tilde{g} \in Sim(G,A) \to \gets .$

Ahora supongamos que tenemos dos $ G$-espacios $ X,Y$, y una función $ G$-equivariante $ f$. También supongamos que $ g \rhd A$. Se tiene:

$\displaystyle f(A) \stackrel{g \rhd A}{=} f(g \cdot A ) = \{f(g \cdot x) \mid x \in A \} =\{g \cdot f(x)

\mid x \in A \} = g \cdot f(A). $
Luego
$\displaystyle g \rhd f(A) \quad

\forall f \ $    función $G$-equivariante$\displaystyle .$

Ahora supongamos que $ \exists ! g \in G \ $    tal que $ g \rhd A$. En este caso g es el único núcleo de simetrías de A, a lo cual de dirá que A tiene simetría cíclica con respecto a g. En este caso el subgrupo maximal de simetría es $ \widetilde{G}

= <\{g\}> $.





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