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5 Aplicación


5.1 Simetría e invariabilidad ante transformaciones.

Habitualmente, el término simetría se utiliza para designar una suerte de ``buena proporción" entre las diversas partes que constituyen un todo. En este sentido, la simetría se asocia a algún tipo de equilibrio en la manera en que distintos elementos se integran para formar un objeto, y se le suele asociar con la belleza en las formas de la naturaleza y en el arte.

Un ejemplo importante de simetría es la bilateral, que en términos generales se puede describir diciendo que si la mitad de la izquierda se refleja en un espejo entonces se obtiene la de la derecha. De esta forma, una forma que posee simetría bilateral permanece invariable cuando se realiza una reflexión en torno a su eje.

Este ejemplo sugiere que una forma de formalizar matemáticamente la noción de simetría consiste en estudiar las transformaciones que dejan invariable el objeto en observación.

Una transformación es una regla para realizar movimientos de objetos. Estos movimientos pueden ser rígidos : rotaciones, traslaciones y reflexiones. Una dilatación es un cambio de escala dado por una expansión o una contracción uniforme en torno a algún punto fijo determinado que se denomina centro de la dilatación.

Si la forma de un objeto permanece invariable luego de aplicarle una transformación dada, entonces decimos que posee la simetría asociada a dicha transformación. Por ejemplo, si a un círculo se le aplica una rotación en un ángulo arbitrario en torno a su centro, se conserva la forma del círculo. Todo objeto con esta propiedad se dice que posee simetría circular.

Veamos que las rotaciones, traslaciones y reflexiones pueden ser vistas como acciones de grupos.
Nota: Desde ahora el objeto en cuestión será un conjunto acotado de $ \mathbbm{R}^3$.

$ \bullet$
Rotaciones.
Primero notemos que $ (\mathbbm{R}, +)$ es un grupo abeliano. Sea $ \equiv_{2\pi}$la relación dada por

$\displaystyle x \equiv_{2\pi} y \Leftrightarrow
(\exists z \in \mathbbm{R}) \ x = 2\pi \cdot z + y.$

Claramente $ \equiv_{2\pi}$es una relación de equivalencia compatible con $ +$. Luego podemos hablar del grupo cociente $ (\mathbbm{R}_{2\pi},+)$. Sea $ \mu$ la siguiente acción de $ \mathbbm{R}_{2\pi}$ en $ \mathbbm{R}^3$.
$ \mu : $ $ (\mathbbm{R}_{2\pi},+)^2 \times \mathbbm{R}^3 \to $ $ \mathbbm{R}^3$
  $ ( (\alpha, \beta), \vec{x}) \to $ $ \mu((\alpha, \beta ),
\vec{x}) = \vec{\alpha} \cdot \vec{x}$
Con $ \vec{\alpha} = (\alpha, \beta)$. $ \mu$ consiste en rotar en un ángulo $ \alpha$ la componente $ \theta$ y en un ángulo $ \beta$ la componente $ \phi$ del vector $ \vec{x}$ visto con coordenadas esféricas $ (r,\theta,\phi)$.
Veamos que efectivamente se trata de una acción:
  1. $ \vec{1} \cdot \vec{x}$ consiste en rotar $ \vec{x}$ en el neutro de $ (\mathbbm{R}_{2\pi},+)^2$, el cual es el $ \vec{1}=(0,0)$, luego $ \vec{x}$ no sufre ninguna rotación, luego

    $\displaystyle 1 \cdot \vec{x} =
\vec{x}.$

  2. $ \vec{\alpha} \cdot (\vec{\beta} \cdot \vec{x})$consiste en primero rotar $ \vec{x}$ primero en el vector angular $ \vec{\beta}$, para luego rotarlo en vector angular $ \vec{\alpha}$, lo cual claramente es lo mismo que rotar $ \vec{x}$ en el vector angular $ \vec{\alpha}+\vec{\beta}$, el cual es la operación en el grupo $ (\mathbbm{R}_{2\pi},+)^2$ de $ \vec{\alpha}$ con $ \vec{\beta}$. Luego

    $\displaystyle \vec{\alpha} \cdot (\vec{\beta} \cdot
\vec{x})= (\vec{\alpha}+\vec{\beta}) \cdot \vec{x}.$

Luego efectivamente estamos hablando de una acción. Esta es la acción rotación respecto al origen.
$ \bullet$
Traslaciones.
En este caso el grupo que usaremos será $ (\mathbbm{R}^3,+)$, y la acción es simplemente la acción de $ \mathbbm{R}^3$ como conjunto sobre $ \mathbbm{R}^3$ como grupo, es decir
$ \mu: \mathbbm{R}^3 \times \mathbbm{R}^3$ $ \to$ $ \mathbbm{R}^3$
$ (\vec{g},\vec{x})$ $ \to$ $ \mu(\vec{g},\vec{x}) = \vec{g}+
\vec{x} $.
$ \mu$ es claramente una acción. Así queda definida la acción traslación.
$ \bullet$
Reflexiones.
Para hablar de reflexión , primero debemos considerar que se entiende por reflexión. La idea del reflejado con respecto a un eje nos da la idea de como definirla de manera conveniente. La reflexión será entendida como sigue: Dado un hiperplano $ \Pi
\subset \mathbbm{R}^3$, la reflexión de $ \vec{x}$ seria el reflejado del vector sobre el hiperplano. Sin perdida de generalidad podemos suponer que son hiperplanos que pasan por el origen, ya que una reflexión por un hiperplano $ \Pi$ cualquiera puede ser entendida como una traslación en $ \vec{y}$ combinada con una reflexión por hiperplano $ \widetilde{\Pi}$ que pasa por el origen. Claramente se debe tener que $ \Pi = \vec{y} + \widetilde{\Pi}$. Ahora tenemos que dar una definición del reflejado de $ \vec{x}$ con respecto a un hiperplano $ \widetilde{\Pi}$ que pasa por el origen. La reflexión de $ \vec{x}$ sobre $ \widetilde{\Pi}$ es un vector $ \vec{y}$ tal que en la componente según $ \vec{n}$, la normal del hiperplano $ \widetilde{\Pi}$, tenga el signo opuesto que la componente según $ \vec{n}$ del vector $ \vec{x}$, mientras que la componente de $ \vec{x}$ sobre $ \widetilde{\Pi}$ se mantiene constante.
Como estamos suponiendo que los hiperplanos pasan por el origen, el único dato relevante es la normal al hiperplano. Claramente el conjunto de todas las normales de todos los hiperplanos que pasan por el origen es $ \mathbbm{R}^3$. La siguiente es una acción de $ \mathbbm{R}^3$ (como grupo) sobre $ \mathbbm{R}^3$ (como conjunto)
$ \mu: \mathbbm{R}^3 \times \mathbbm{R}^3$ $ \to$ $ \mathbbm{R}^3$
$ (\vec{n},\vec{x})$ $ \to$ $ \mu(\vec{n},\vec{x})$.
Donde $ \mu(\vec{n},\vec{x})$ consiste en cambiar de signo la componente $ \vec{n}$ de $ \vec{x}$. Mas explícitamente
   Si $\displaystyle \vec{x} = \alpha \vec{n} + \beta \vec{t},$    con $\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbbm{R}, \vec{n} \perp \vec{t} \ \Rightarrow \ \vec{y} = -\alpha
\vec{n} + \beta \vec{t}.$




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