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El rectángulo áureo.

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial a travez de un arco de circunferencia (como se muestra en la figura) de esta manera obtenemos el lado mayor de un rectángulo.



Si el lado del cuadrado vale unidades, es claro del teorema de Pitágoras (ver siguiente figura) que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es (nuestro número de oro).



Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco,  etc...).

Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.



En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces:



Vamos a demostrar que los vectores y son proporcionales; en efecto:




Por lo tanto, los tres puntos están alineados.




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