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La trigonometría y el número de oro.

Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales:



En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden , y . La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos sólo tres: los triángulos y . El resto de los triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos, que llamaremos:

, , y .

Las longitudes de estos segmentos cumplen que : .

Consideremos ahora cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno.

El :



.


El :



.


El :



.

La última igualdad se obtiene de que  y por tanto .

En consecuencia podemos establecer que se tienen las siguientes proporciones:

.

Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es igual a una constante, la pregunta que surge es entonces:

¿Cuál es esta constante?

Y la respuesta es muy sencilla:

Tomando en cuenta que y que todo lo que hemos calculado anteriormente no depende del lente con el que hemos mirado nuestra figura, podemos ajustar nuestro lente para que el lado mida con lo cual el valor de nuestra constante será igual al valor de , el que podemos calcular fácilmente; en efecto:

.

Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea.

Como consecuencia, se verifica también que






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