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Curiosidades áureas.

Los números , y guardan unas curiosas relaciones entre sí. Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la ecuación que tiene como única solución positiva al número de oro:

,

y al dividir la ecuación en :

.

Consideremos ahora la sucesión de término general:

.

Si calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa relación entre ellos. Calculemos entonces, algunos términos de ella:





podemos concluir entonces que la sucesión dada se convierte en



Es evidente que cada término a partir del tercero se puede obtener sumando los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci.

Comprobemos ahora que los siguientes límites dan como resultado el número de oro:



y



En efecto, supongamos que las respectivas sucesiones son convergentes y llamemos a los respectivos límites.

De la continuidad de las funciones involucradas, se comprueba fácilmente que se verifican las siguientes ecuaciones:

y

De donde, elevando al cuadrado la primera y multiplicando por el denominador en la segunda, obtenemos que ambos límites son solución de la siguiente ecuación:

.

Por último, como ambos son positivos, obtenemos que no les queda otra que ser el número de oro.




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