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Introducción (nociones básicas).

El esquema general donde trabajaremos es un plano donde se encuentra una curva genérica y un punto en que se desplaza hasta , en este contexto, dibujaremos además las tangentes a la curva en los puntos y , y las llamaremos respectivamente y , al ángulo que se forma entre estas tangentes lo llamaremos , también dibujaremos las normales a la curva en los puntos y , y las llamaremos respectivamente y , todo lo anterior como se muestra en la siguiente figura


él cómo a través de una curva podemos obtener estas tangentes y normales lo dejaremos de ejercicio, un método es obtener la parametrización de la curva y luego hacer gala de los conocimientos tanto de diferenciación como de geometría analitica, conocimientos que no son necesarios para entender las nociones básicas que a continuación relataremos.

Observemos también, que el lector debe ser lo suficientemente habil para entender la idea esencial, con la cual podrá explotar su racionalidad y obtener la rigurosidad que desea.


Círculo de Curvatura

La primera nocion básica es la de círculo de curvatura en el punto de la curva , y éste es el que más se asemeja a la curva en el punto en cuestión, lo que se puede apreciar en la siguiente figura


donde el círculo de curvatura de la curva en el punto se ha dibujado en color amarillo. Notemos que éste, también posee como tangente en el punto a y que la normal a la curva en el punto también pasa por su centro . En realidad la tangente y la normal están estrechamente relacionadas con este círculo. Este circulo se encuentra entonces totalmente determinado por la tangente, la normal y su centro de circunferencia, es por esto que en la primera figura sólo aparecen y que son los centros de circunferencias de la curva en los puntos y respectivamente


recordemos que ésta es la figura con la que estamos trabajando.


Radio de Curvatura

El radio de curvatura de la curva en el punto es el radio del círculo de curvatura. La noción es tan sencilla, que plantear su definición de otra forma es simplemente atrofiar la intuición. Además, por su misma definición, resulta totalmente determinado el círculo de curvatura sabiendo simplemente la normal a la curva en el punto y el radio de curvatura. Recordemos también que la normal a la curva se determina de forma directa con la tangente, como el producto cruz de la tangente y un vector perpendicular al plano.

Observemos también que una recta tiene como círculo de curvatura uno de radio infinito.


Curvatura

La curvatura se define como el inverso multiplicativo del radio de curvatura, es decir, si es el radio de curvatura de la curva en el punto , la curvatura de la curva en el punto está dada por



por ejemplo una recta  tentrá una curvatura en todo punto.


Obtención práctica

Ahora bién, el lector que no sea completamente romo, se habrá dado cuenta que encontrar el circulo de curvatura de una curva arbitraria , es realmente un problema dificil con estas definiciones, es más, resulta casi como una aberración matemática el dibujar circulos una y otra vez hasta dar con uno que se ajuste con nuestra curva. Es por esto que el tener estas definiciones en la cabeza sin ocupar nuestra inteligencia no nos sirven de nada, apliquemosla entonces.

Primero, recordamos que la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es y entonces, como la suma de los ángulos internos del cuadrilátero formado por las tangentes y normales en los puntos y es , no queda otra que el ángulo entre las normales sea igual al ángulo entre las tangentes, como se aprecia en la siguiente figura


Recordemos ahora que el ángulo es muy facil de determinar una vez que hemos obtenido las tangentes unitarias, pues su coseno no es ni más ni menos que el producto punto entre ellas.

Pues bien, la forma de determinar el radio de circunferencia en el punto , es aproximandolo como el cociente entre la distancia entre el punto y el punto , que llamaremos , y el ángulo entre las tangentes de estos puntos, es decir



esta ecuación, proviene del hecho, de que cuando y están muy próximos, los puntos y también lo estarán, y luego y , aproximadamente formarán parte de un mismo circulo, claro está que esta aproximación desaparece cuando el punto lo acercamos infinitesimalmente al punto .




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