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Inversa.

    La inversa es un método de derivar una curva nueva basada en un círculo. Es por tanto una transformación independiente de la curva, que consiste en aplicar la transformación a cada punto de la curva a transformar, la transformación es naturalmente, la poputal inversión, que a todo geómetra ha cautivado, ya que con ella se puede definir una nueva geometría muy particular e interesante.

    Recordemos entonces, la transformación llamada inversión:

    Dado un circulo arbitrario y fijo , un par de puntos y se dice que son mutuamente inversos con respecto a si la recta que los une corta el círculo en forma perpendicular una única vez y cumplen la ecuación



donde es el centro del círculo, es el radio del círculo y es la distancia entre y . Y se dice entonces que es la inversión de con respecto a .

    De esta definición, se obtienen inmediatamente dos propiedades:
  • es la inversión de si y solamente si es la inversión de .
  • Los puntos de dentro del círculo son mapeados al exterior y viceversa.
    Los puntos en el círculo son puntos fijos (es decir la inversión de cualquier punto en el círculo es él mismo punto).

    Cuando se aleja de , su inversión se acerca a . De esta observación, podemos entonces definir la inversión de como un punto en el infinito y viceversa. Con tal definición, hemos obtenido una transformación en un plano con un punto en el infinito, a este plano con el punto en el infinito se le llama Proyección Estereografica y es un concepto muy importante en geometría. Se demuestra que tal plano es topológicamente equivalente a una esfera (posada encima del plano), que dos rectas siempre se intersectan en el infinito, etc.



    En la figura anterior, el círculo azul es la inversión del círculo rojo con respecto al círculo amarillo y viceversa.

    La inversión de una curva es la inversion de todos los puntos de la curva y la curva nueva formada se denomina inversa de la curva original.

  Es directo de las propiedades que, si la curva es la inversa de la curva , entonces la curva es también la inversa de la curva , obviamente que con respecto al mismo círculo ambas inversiones.

    Al círculo de la inversión se le llama el polo.

    Una característica, que se desprende fácilmente de la definición, es que el radio del círculo de la inversión afecta la escala de la curva inversa, pero no afecta su forma. Las curvas cuya inversion son ellas mismas se llaman las curvas anallagmaticas.

    Los círculos, las líneas, y los óvalos de Cassinian son curvas anallagmaticas.

    Para encontrar la inversión de una curva con respecto a un círculo de radio y centro se puede proceder de la siguiente forma:
  • Dibuje la recta para algún punto de la curva.
  • Marque el punto de esta recta que cumpla con la ecuación
  • Repita esto para otros puntos de la curva.
    El lugar geométrico de es la inversion de la curva con respecto al círculo



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